Страховая занизила выплату по ОСАГО после ДТП на Камышовом шоссе: как взыскать разницу?

Здравствуйте. У меня произошла ДТП на Камышовом шоссе в Севастополе, машину мне помял другой водитель. Сразу же оформили аварию, все по закону, есть протокол и страховой полис обоих машин. Я обратился в страховую компанию, они провели свою оценку ущерба и предложили выплату. Но мне кажется, что они занизили сумму минимум на треть. Я нашел независимую экспертизу, которая подтверждает, что мой ущерб намного больше, чем они готовы платить. Вот вопрос: как мне взыскать эту разницу с страховой компании? Нужно ли мне самому платить за независимую экспертизу или есть какой-то порядок? И реально ли в суде попросить компенсацию за разницу в размере выплаты, если у меня есть документ независимого эксперта? Сразу скажу, что работать через суд я готов, просто хотелось бы понять, какие у меня шансы и что нужно предпринять в первую очередь.